G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .. 

Mobilidade elétrica é a capacidade de partículas carregadas (tais como elétrons, prótons ou íons) se movimentarem através de um meio, em resposta a um campo elétrico que as está puxando. No caso dos íons, trata-se de mobilidade iônica, enquanto no caso dos elétrons, trata-se de mobilidade eletrônica.

A separação de íons de acordo com sua mobilidade em fase gasosa é chamada espectrometria de mobilidade iônica; em fase líquida é chamada eletroforese.

Teoria

Quando uma partícula carregada em um gás ou líquido sofre a ação de um campo elétrico uniforme, ela será acelerada até que alcance uma velocidade de deriva constante de acordo com a fórmula:

${\displaystyle \,v_{d}=\mu E}$ / 

G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

onde:

• ${\displaystyle \,v_{d}}$ é a velocidade de deriva (m/s)
• ${\displaystyle \,E}$ é a magnitude do campo elétrico aplicado (V/m)
• ${\displaystyle \,\mu }$ é a mobilidade (m²/(V.s))

Em outras palavras, a mobilidade elétrica de uma partícula é definida como a razão entre a velocidade de deriva e a magnitude do campo elétrico:

${\displaystyle \,\mu ={\frac {v_{d}}{E}}}$ / 

G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

A mobilidade elétrica é proporcional à carga elétrica de uma partícula. Esta é a base para a demonstração de Robert Millikan de que cargas elétricas ocorrem em unidades discretas, cuja magnitude é a carga de um elétron.

A mobilidade elétrica das partículas esféricas, cujo diâmetro é maior do que o caminho livre médio das moléculas do solvente em que estão imersas, é inversamente proporcional ao diâmetro dessas partículas. Já a mobilidade elétrica das partículas que têm diâmetro menor do que o caminho livre médio das moléculas do solvente é inversamente proporcional ao quadrado do seu diâmetro.

O modelo Drude de condução elétrica foi proposto em 1900 ^[1][2] por Paul Drude para explicar as propriedades de transporte de elétrons em materiais (especialmente metais). Basicamente, a lei de Ohm estava bem estabelecida e afirmava que a corrente J e a tensão V que impulsionam a corrente estão relacionadas à resistência R do material. O inverso da resistência é conhecido como condutância. Quando consideramos um metal de comprimento unitário e área de seção transversal, a condutância é conhecida como condutividade, que é o inverso da resistividade. O modelo de Drude tenta explicar a resistividade de um condutor em termos do espalhamento de elétrons (os portadores de eletricidade) pelos íons relativamente imóveis no metal que agem como obstruções ao fluxo de elétrons.

O modelo, que é uma aplicação da teoria cinética, assume que o comportamento microscópico dos elétrons em um sólido pode ser tratado classicamente e se comporta de maneira muito semelhante a uma máquina de pinball, com um mar de elétrons em constante agitação, saltando e voltando a saltar mais pesados, íons positivos relativamente imóveis.

Os dois resultados mais significativos do modelo Drude são uma equação eletrônica de movimento,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle \times \mathbf {B} }{m}}\right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$ /G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

e uma relação linear entre a densidade de corrente J e o campo elétrico E,

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$ /G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

Aqui o tempo é descrito por ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \langle p\rangle }$ é o momento médio por elétron e ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle \tau }$ são, respectivamente, a carga do elétron, densidade numérica, massa e tempo livre médio entre as colisões iônicas. A última expressão é particularmente importante porque explica em termos semi quantitativos por que a lei de Ohm, uma das relações mais onipresentes em todo o eletromagnetismo, deve ser válida.^[3][4]

O modelo foi estendido em 1905 por Hendrik Antoon Lorentz (e, portanto, também é conhecido como o modelo Drude-Lorentz) Para dar a relação entre a condutividade térmica e a condutividade elétrica dos metais, e é um modelo clássico. Mais tarde, foi complementado com os resultados da teoria quântica em 1933 por Arnold Sommerfeld e Hans Bethe, levando ao modelo Drude-Sommerfeld.

Teoria

Pontos quânticos são descritos teoricamente como entidades pontuais ou zero-dimensionais. A maioria de suas propriedades depende de seu tamanho, forma e composição.^[69] Geralmente, pontos quânticos apresentam propriedades termodinâmicas diferentes dos materiais macroscópicos. Um desses efeitos é a diminuição do ponto de fusão.^{[carece de fontes]}

Confinamento quântico em semicondutores

Em um nanocristal de semicondutor cujo raio é menor que o raio de Bohr do composto, os éxcitons são confinados, levando ao efeito de confinamento quântico. Os níveis de energia podem ser previstos usando o modelo da partícula em uma caixa, no qual os estados de energia dependem do comprimento da caixa. Comparando o tamanho dos pontos quânticos ao raio de Bohr das funções de onda do elétron e da lacuna, três regimes podem ser definidos. Um regime de confinamento forte é definido como pontos quânticos com raio menor que o raio de Bohr do elétron e da lacuna, enquanto que o confinamento fraco é dado quando o ponto quântico é maior que ambos. Para semicondutores nos quais o raio do elétron e da lacuna são marcadamente diferentes, ocorre um regime de confinamento intermediário, onde o raio do ponto quântico é maior que o raio de Bohr de um dos portadores de carga (tipicamente, da lacuna), mas não do outro portador de carga.^[70]

Energia de bandgap

A largura da banda proibida se torna maior no regime de confinamento forte, uma vez que os níveis de energia se dividem acima. O raio de Bohr do éxciton pode ser expresso como:

${\displaystyle a_{b}^{*}=\varepsilon _{2}\left({\frac {m}{\mu }}\right)a_{b}}$ /G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

Onde a_b é o raio de Bohr = 0.053 nm, m é a massa, ${\displaystyle \mu }$ é a massa reduzida e ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ é a constante dielétrica dependente do tamanho (permissividade relativa). Isto resulta num aumento na energia total de emissão (a soma dos níveis de energia nos bandgaps menores no regime de confinamento forte é maior que os níveis de energia no bandgap dos níveis originais no regime de confinamento fraco) e a emissão a vários comprimentos de onda. Se a distribuição de tamanhos dos pontos quânticos não é estreita o suficiente, a convolução de múltiplos comprimentos de onda de emissão é observado como um espectro contínuo.^{[carece de fontes]}

Energia de confinamento

A entidade éxciton pode ser modelada usando a partícula na caixa. O elétron e a lacuna podem ser vistos como o hidrogênio no modelo de Bohr, com o núcleo do hidrogênio sendo substituídos pela lacuna de carga positiva e massa do elétron negativa. Então os níveis de energia do éxciton podem ser representados como a solução para a partícula na caixa no nível fundamental (n = 1), com a massa sendo substituída pela massa reduzida. Variando o tamanho do ponto quântico, a energia de confinamento do éxciton pode ser controlada.^{[carece de fontes]}

Energia de ligação do éxciton

Há uma energia de atração eletrostática entre o elétron carregado negativamente e a lacuna carregada positivamente. A energia envolvida na atração é proporcional à energia de Rydberg e inversamente proporcional ao quadrado da constante dielétrica dependente do tamanho do semicondutor.^[71] Quando o tamanho do cristal semicondutor é menor que o raio de Bohr do éxciton, a interação Coulômbica precisa ser modificada para se adaptar à situação.

Portanto, a soma destas energias pode ser representada como:

${\displaystyle E_{confinamento}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2a^{2}}}\left({\frac {1}{m_{e}}}+{\frac {1}{m_{h}}}\right)={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2\mu a^{2}}}}$ /G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

${\displaystyle E_{exciton}=-{\frac {1}{\epsilon _{2}^{3}}}{\frac {\mu }{m_{e}}}R_{y}=-R_{y}^{*}}$ /G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

${\displaystyle E=E_{bandgap}+E_{confinamento}+E_{exciton}}$ /G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

${\displaystyle E=E_{bandgap}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2\mu a^{2}}}-R_{y}^{*}}$ /G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

Onde ${\displaystyle \mu }$ é a massa reduzida, a é o raio, m_e é a massa do elétron livre, m_h é a massa da lacuna e ε_r é a constante dielétrica dependente do tamanho.

Apesar das equações acima terem sido derivadas usando premissas simplificadas, elas implicam que as transições eletrônicas dos pontos quânticos dependerão do seu tamanho. Estes efeitos de confinamento quântico são aparentes somente abaixo do tamanho crítico. Partículas grandes não exibem este efeito. Este efeito de confinamento quântico em pontos quânticos tem sido verificado experimentalmente repetidas vezes e é uma característica chave de muitas estruturas eletrônicas emergentes.^[72]

A interação eletrostática entre os portadores de carga confinados também pode ser estudada por meios numéricos quando resultados não restritos em aproximações assintóticas são buscados.^[73]

Modelos

Uma variedade de estruturas teóricas existem para modelar propriedades ópticas, eletrônicas e estruturais dos pontos quânticos. Estas podem ser amplamente divididas em mecânica quântica, semiclássica e clássica.^{[carece de fontes]}

Mecânica quântica

Modelos e simulações de pontos quânticos baseados em mecânica quântica frequentemente envolvem a interação dos elétrons com uma matriz randômica ou pseudopotencial.^[74]

Semiclássica

Modelos semiclássicos de pontos quânticos frequentemente incorporam um potencial químico. Por exemplo, o potencial químico termodinâmico de um sistema de N partículas é dado por:

${\displaystyle \mu {\bigl (}N{\bigr )}=E{\bigl (}N{\bigr )}-E{\bigl (}N-1{\bigr )}}$ /G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

Cujos termos de energia podem ser obtidos como soluções da Equação de Schrödinger. A definição de capacitância:

${\displaystyle {\frac {1}{C}}\equiv {\frac {\Delta V}{\Delta Q}}}$ /G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

Com a diferença de potencial:

${\displaystyle \Delta V={\frac {\Delta \mu }{e}}={\frac {\mu (N+\Delta N)-\mu (N)}{e}}}$ /G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

Pode ser aplicada para um ponto quântico com a adição ou remoção de elétrons individuais, ${\displaystyle \Delta N=1}$e ${\displaystyle \Delta Q=e}$. /G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

Então:

${\displaystyle C(N)={\frac {e^{2}}{\mu (N+1)-\mu (N)}}={\frac {e^{2}}{I(N)-A(N)}}}$ /G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

É a capacitância quântica de um ponto quântico, onde I(N) foi denotado como o potencial de ionização e A(N) a afinidade eletrônica do sistema de N partículas.^[75]

Mecânica clássica

Modelos clássicos das propriedades eletrostáticas dos elétrons em pontos quânticos são similares em naturez ao problema de Thomson de distribuição ótima de elétrons em uma esfera.

O tratamento eletrostático clássico dos elétrons confinados a pontos quânticos esféricos é similar ao seu tratamento no modelo de Thomson^[76] do átomo.^[77]

O tratamento clássico para pontos quânticos bidimensionais e tridimensionais exibe comportamento de preenchimento dos níveis eletrônicos. Uma tabela periódica de átomos artificiais clássicos foi descrita para pontos quânticos bidimensionais.^[78] Também, muitas conexões foram reportadas entre o problema de Thomson tridimensional e os padrões de preenchimento dos níveis eletrônicos encontrados em átomos naturais na tabela periódica.^[79] Este último trabalho se originou no modelo clássico eletrostático de elétrons em um ponto quântico esférico representado por uma esfera dielétrica ideal.^[79]

O raio de Wigner-Seitz ${\displaystyle r_{\rm {s}}}$, em homenagem a Eugene Wigner e Frederick Seitz, é o raio de uma esfera cujo volume é igual ao volume médio por átomo em um sólido (para metais do primeiro grupo).^[1][2] No caso mais geral de metais com mais elétrons de valência, ${\displaystyle r_{\rm {s}}}$ é o raio de uma esfera cujo volume é igual ao volume por elétron livre.^[3] Este parâmetro é usado freqüentemente na física da matéria condensada para descrever a densidade de um sistema. É importante mencionar, ${\displaystyle r_{\rm {s}}}$ é calculado para materiais a granel.

Fórmula

Em um sistema 3-D com ${\displaystyle N}$elétrons livres em um volume ${\displaystyle V}$,o raio Wigner-Seitz é definido por

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}={\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}\,,}$ /

G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

onde ${\displaystyle n}$ é a densidade de partícula de elétrons livres. Resolvendo para ${\displaystyle r_{\rm {s}}}$ nós obtemos

${\displaystyle r_{\rm {s}}=\left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3}.}$ /

G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

O raio também pode ser calculado como

${\displaystyle r_{\rm {s}}=\left({\frac {3M}{4\pi Z\rho N_{\rm {A}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\,,}$ /

G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .

onde ${\displaystyle M}$ é massa molar, ${\displaystyle Z}$ é a quantidade de elétrons livres por átomo, ${\displaystyle \rho }$ é a densidade de massa, e ${\displaystyle N_{\rm {A}}}$ é o número de Avogadro.

Este parâmetro é normalmente relatado em unidades atômicas, ou seja, em unidades do raio de Bohr.

Valores

Valores de ${\displaystyle r_{\rm {s}}}$ para os metais do primeiro grupo:^[3]

Elemento	${\displaystyle r_{\rm {s}}/a_{0}}$
Li	3.25
Na	3.93
K	4.86
Rb	5.20
Cs	5.62

/G ψ = E ψ = IGFF   E [tG+].... .